Бетаи термодинамикӣ

Миқёси табдили ҳарорат/сардӣ СИ: Ҳароратҳо аз рӯи миқёси Келвин бо ранги кабуд нишон дода шудаанд (миқёси Селсий — бо сабз, миқёси Фаренгейт — бо сурх), қиматҳои сардӣ бо гигабайт бар наноҷоул бо ранги сиёҳ нишон дода шудаанд. Ҳарорати беохир (сардии сифр) дар болои диаграмма нишон дода шудааст; қиматҳои мусбати сардӣ/ҳарорат — дар тарафи рост, манфӣ — дар тарафи чап.

Дар термодинамикаи оморӣ бетаи термодинамикӣ, ки ҳамчунин бо номи сардӣ маъруф аст, бузургии баръакси ҳарорати термодинамикии низом мебошад:$$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}$$ (ки дар ин ҷо T — ҳарорат ва k_B — собити Болтсман аст). Бетаи термодинамикӣ воҳиди андозагирии баръакси энержӣ дорад (дар воҳидҳои СИ, ҷоули баръакс, $[\beta ]={\textrm {J}}^{-1}$). Дар воҳидҳои ғайригармоӣ онро инчунин метавон бо байт бар ҷоул ё, ки қулайтар аст, бо гигабайт бар наноҷоул андозагирӣ кард; 1 K⁻¹ тақрибан ба 13 062 гигабайт бар наноҷоул баробар аст; дар ҳарорати хонагӣ: T = 300 K, β ≈ 44 ГБ/нҶ ≈ 39 эВ⁻¹ ≈ 2,4 ⋅ 10²⁰ Ҷ⁻¹. Коэффисиенти табдил: 1 ГБ/нҶ = $8\ln 2\times 10^{18}$ Ҷ⁻¹.

Тавсиф

Бетаи термодинамикӣ, дар асл, як робитаи пайвандкунанда байни назарияи иттилоот ва механикаи оморӣ дар тафсири низоми физикӣ тавассути энтропияи он ва термодинамикаи вобаста ба энержии он мебошад. Он аксуламали энтропияро ба афзоиши энержӣ ифода мекунад. Агар ба низом миқдори ками энержӣ илова карда шавад, β дараҷаи тасодуфишавии (рандомизатсияи) низомро тавсиф мекунад. Тавассути таърифи омории ҳарорат ҳамчун функсияи энтропия, функсияи сардиро метавон дар ансамбли микроканоникӣ бо формулаи зерин ҳисоб кард

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}},={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}$

(яъне ҳосилаи хусусии энтропияи S аз рӯи энержии E дар шароити доимии ҳаҷми V ва шумораи зарраҳои N).

Бартариҳо

Гарчанде ки β аз ҷиҳати мафҳумӣ ба ҳарорат комилан эквивалент аст, он одатан аз сабаби падидаи ҳарорати манфӣ бузургии бунёдитар аз ҳарорат ба ҳисоб меравад, ки дар он β ҳангоми гузариш аз сифр пайваста аст, дар ҳоле ки T сингулярӣ дорад. Илова бар ин, β бартарӣ дорад, ки робитаи сабабу оқибати онро фаҳмидан осонтар аст: агар ба низом миқдори ками гармӣ илова карда шавад, β афзоиши энтропияро, ки ба афзоиши гармӣ тақсим шудааст, ифода мекунад. Ҳароратро бо ҳамин маъно шарҳ додан душвор аст, зеро "илова кардани энтропия" ба низом ба ғайр аз роҳи ғайримустақим, яъне тавассути тағйир додани дигар бузургиҳо, ба монанди ҳарорат, ҳаҷм ё шумораи зарраҳо, ғайриимкон аст.

Тафсири оморӣ

Аз нуқтаи назари омор, β — ин бузургии ададӣ аст, ки ду низоми макроскопиро дар ҳолати мувозинат ба ҳам мепайвандад. Таърифи дақиқи он чунин аст. Ду низом, 1 ва 2-ро, ки дар тамоси гармоӣ қарор доранд, бо энержиҳои мувофиқи E₁ ва E₂ дида мебароем. Фарз мекунем, ки E₁ + E₂ = ба ягон доимии E баробар аст. Шумораи микроҳолатҳои ҳар як низомро бо Ω₁ ва Ω₂ ишора мекунем. Дар доираи фарзияҳои мо, Ω_i танҳо аз E_i вобаста аст. Мо инчунин фарз мекунем, ки ҳар як микроҳолати низоми 1, ки бо E₁ мувофиқ аст, метавонад бо ҳар як микроҳолати низоми 2, ки бо E₂ мувофиқ аст, якҷоя вуҷуд дошта бошад. Аз ин рӯ, шумораи микроҳолатҳо барои низоми муттаҳидшуда баробар аст ба

$\Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).,$

Мо β-ро аз постулати асосии механикаи оморӣ мебарорем:

Вақте ки низоми муттаҳидшуда ба мувозинат мерасад, шумораи Ω ба ҳадди аксар мерасад.

(Ба ибораи дигар, низом табиатан ба шумораи максималии микроҳолатҳо майл мекунад.) Аз ин рӯ, дар ҳолати мувозинат:

${\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.$

Аммо E₁ + E₂ = E маънои онро дорад, ки

${\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.$

Пас

$\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0$

яъне

${\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{дар ҳолати мувозинат.}}$

Таносуби дар боло овардашуда барои таърифи β асос мешавад:

$\beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.$

Алоқаи тафсирҳои оморӣ ва термодинамикӣ

Вақте ки ду низом дар ҳолати мувозинат қарор доранд, онҳо дорои як ҳарорати термодинамикии T мебошанд. Аз ин рӯ, интизор шудан мумкин аст, ки β (ки тавассути микроҳолатҳо муайян карда шудааст) бо T ба гунае робита дорад. Ин робита тавассути постулати асосии Болтсман, ки ба таври зерин навишта мешавад, таъмин карда мешавад:

$S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,$

ки дар ин ҷо k_B — собити Болтсман, S — энтропияи классикии термодинамикӣ ва Ω — шумораи микроҳолатҳо мебошад. Ҳамин тариқ,

$d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.$

Бо гузоштани ин ба таърифи β аз таърифи омории дар боло овардашуда, мо ҳосил мекунем:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.$

Бо муқоиса бо формулаи термодинамикӣ

${\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},$

мо дорем:

$\beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}$

ки дар ин ҷо $\tau$ ҳарорати бунёдӣ-и низом номида шуда, воҳиди андозагирии энержӣ дорад.

Таърих

Бетаи термодинамикӣ бори аввал соли 1971 (ҳамчун Kältefunktion «функсияи сардӣ») аз ҷониби Инго Мюллер, яке аз ҷонибдорони мактаби термодинамикаи ратсионалӣ, дар асоси пешниҳодҳои қаблӣ дар бораи функсияи «ҳарорати баръакс» ҷорӣ карда шудааст.

Нигаред низ

Тақсимоти Болтсман Ансамбли каноникӣ Модели Изинг