Идеал (риёзӣ)

Идеал — дар математика, яке аз мафҳумҳои асосии алгебраи умумӣ.

Мафҳуми мазкур аввал дар натиҷаи омӯхтани ададҳои алгебравии ирратсионалӣ ба вуҷуд омада, сипас дар дигар соҳаҳои математика татбиқ шуд. Истилоҳи «идеал» аз ибораи «ададҳои идеалӣ» бармеояд. Маълум аст, ки ҳар гуна адади бутун (ратсионалӣ)-ро дар намуди ҳамзарбшавандаҳо (ададҳо)-и сода навиштан мумкин аст; мас., 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5, дар айни ҳол ин ҷудокунӣ то саҳеҳии тартиб ва аломати зарбшавандаҳо ягона мебошад:

60 = 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 2 = (-2) ∙ 2 ∙ (-3)∙5=…

Дар асри 19 масъалае ба миён омада буд, ки ададҳои бештар умумӣ ба зарбшавандаҳои сода ҷудо карда шаванд. Мас., агар, ададҳои намуди m + n √(-5) [m ва n — ададҳои бутун (ратсионалӣ)-и дилхоҳ] баррасӣ шаванд, дар ин маврид ҳам ба монанди ададҳои одӣ ҳар як адади мазкурро бо зарбшавандаҳои баъд ҷудонашаванда тақсим кардан мумкин аст, вале дар ин маврид ягонагии ҷудокунӣ вайрон мешавад. Мас., адади 9 (ки ҳангоми m = 9 ва n = 0 будан ҳосил мешавад) бо ду усул ба зарбшавандаҳо ҷудо мешавад: 9 = 3 ∙ 3 ва 9 = (2 + √(-5)) ∙ (2 — √(-5); дар айни ҳол зарбшавандаҳои 3, 2 + √(-5) ва 2 — √ — 5-ро минбаъд ба зарбшавандаҳои намуди m + n √(-5) ҷудо кардан мумкин нест. Агар хосияти тақсимшавӣ на бо ададҳо, балки бо И.-ҳо алоқаманд карда шавад, қонунмандиҳои ягонагии ҷудокунӣ вайрон намешаванд. Дар алгебраи муосир И. барои ҳалқаҳои дилхоҳ ҷорӣ карда мешавад. Дар мавриди ҳалқаҳои ададӣ (мас., маҷмӯи ададҳои дар боло муоинашудаи m + n √(-5) И.-ҳоро ададҳои идеалӣ низ меноманд. И. маҷмӯи ададҳоест, ки ба ҳалқаи додашуда (дар мавриди ҳалқаи ихтиёрӣ — маҷмӯи унсурҳои он) тааллуқ дошта, дорои хосиятҳои зерин аст: 1) ҳосили ҷамъ ва фарқи ду адад (унсур)-и маҷмӯъ боз ба ҳамин маҷмӯъ мансуб аст; 2) зарби адад (унсур)-и ин маҷмӯъ ба дигар адад (унсур)-и дилхоҳи ҳалқа боз мансуб ба ҳамин маҷмӯъ мебошад. Баъди муайян кардани мафҳуми И. ба ҷои адад И.-и ба он мувофиқро муоина мекунанд. Мас., ба адади 9 И.-и р = (9) мувофиқ меояд, ки аз ҳамаи ададҳои ба 9 тақсимшаванда иборат аст.

Мафҳуми И. (ё «адади идеалӣ»)-ро соли 1847 математики олмонӣ Э. Кумер барои як ҳолати хусусии майдонҳои ададӣ ҷорӣ кардааст. Назарияи қатъӣ ва пурраи И.-и ҳар гуна майдони ададиро вобаста ба ҳамдигар математики олмонӣ Р. Дедекинд (1871) ва математики рус Е. И. Золотарёв (1877) баён карда, Ҳилберт ва хусусан А. Э. Нётер инкишоф додаанд. Дар миёнаи асри 20 назарияи И.-ҳо пайваста ба инкишофи назарияи умумии халқаҳо мазмуни нав пайдо карда, дар зергурӯҳҳо, алгебра ва дигар ифодаҳои алгебравӣ истифода мешаванд.

Адабиёт

• Идеал / Ғ. Бобоев // Замин — Илля. — Д. : СИЭМТ, 2018. — (Энсиклопедияи Миллии Тоҷик : [тахм. 25 ҷ.] / сармуҳаррир Н. Амиршоҳӣ ; 2011—2023, ҷ. 7). — ISBN 978-99947-33-89-9.