Қатори Тейлор

Аз Википедиа
Ҷаҳиш ба: новбари, Ҷустуҷӯи

Қатори Тейлор — таҷзияи функсияҳоро ба суммаи беохири функсияҳои дараҷагӣ меноманд. Қатор ба шарофати риёзидони англис Брук Тейлор номгузорӣ шудааст.

Бигзор функсияи f(x) дар атрофи ягон нуқтаи {a}\,\! беохир дифференсиронидашаванда бошад, он гоҳ қатори

\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k

қатори Тейлори функсияи f дар нуқтаи a номида мешавад. Ҳангоми a=0 ин қаторро баъзан қатори Маклорен низ меноманд.

Агар f функсияи аналитикӣ бошад, он гоҳ қатори Тейлори он дар ҳар як нуқтаи a соҳаи муайянии f ба f дар ягон атрофи a наздик мешавад.

Формулаи Тейлор[вироиш]

Формулаи Тейлор барои исботи теоремаҳои зиёде ҳисоби дифференсиалӣ истифода мешавад. Гуфтан мумкин аст, ки формулаи Тейлор хислати функсияро дар атрофи ягон нуқта муайян месозад.

Таҷзияи Тейлор барои баъзе функсияҳо[вироиш]

Дар поён таҷзияҳои аз рӯи формулаи Тейлор барои баъзе функсияҳои асосӣ, ки барои ҳама гуна ададҳои комплексӣ ва ҳақиқии x дурустанд, оварда шудааст.

Экспонента ва логарифми натуралӣ:

\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!} барои ҳама гуна  x
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1} барои  \left| x \right| < 1

Қатори геометрӣ:

\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n барои  \left| x \right| < 1

Таҷзияи биномиалӣ:

(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} {\alpha \choose n} x^n барои ҳама гуна  \left| x \right| < 1\quad\mbox{ and all complex } \alpha

Функсияҳои тригонометрӣ:

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} барои ҳама гуна  x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} барои ҳама гуна  x
\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} для  \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} барои ҳама гуна  \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барои ҳама гуна  \left| x \right| < 1
\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} барои ҳама гуна  \left| x \right| < 1

Функсияҳои гиперболӣ:

\operatorname{sh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} барои ҳама гуна  x
\operatorname{ch} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n} барои ҳама гуна  x
\operatorname{th}\left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} барои  \left|x\right| < \frac{\pi}{2}
\operatorname{areash} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барои  \left| x \right| < 1
\operatorname{areath} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} барои  \left| x \right| < 1

Адабиёт[вироиш]