Ҳандасаи тасвирӣ

Ҳандасаи тасвирӣ (форсӣ: هندسه تصویری‎), геометрияи проективӣ — фасли ҳандаса, ки хосияти тасвирии шаклҳоро меомӯзад.

Ҳандасаи тасвирӣ хосиятҳоеро таҳқиқ мекунад, ки дар натиҷаи табдилоти проективӣ тағйир намеёбанд, мас., агар нуқта дар хатти рост воқеъ бошад ё хатти рост аз нуқта гузарад, нуқта ва хатти рост ба ҳам мутааллиқ мебошанд. Асоси ҳандасаи тасвириро, ки усули проексиясозӣ мебошад, меъмор ва риёзидони фаронсавӣ Ж. Дезарг (1593–1662) таҳия намудааст. Дар ҳандасаи тасвирӣ теоремаи Дезарг, аксиомаи Папп, теоремаи Паскал ва теоремаи Брианшон нақши муҳим мебозанд. Ҳандасаи тасвирӣ ҳамчун соҳаи мустақили риёзиёт дар доираи рисолаҳои риёзидони фаронсавӣ Ж. Понселе (1822) инкишоф ёфтааст. Мувозӣ ва амудӣ будани хатҳои рост, баробарии порчаҳо ва кунҷҳо хосиятҳои ғайрипроективианд, зеро хатҳои рости ҳамдигарро бурандаи l ва m-ро ба хатҳои рости мувозии l' ва m' (расми 1), порчаҳои баробари АВ ва ВС-ро ба порчаҳои нобаробари А'В' ва В'С' (расми 2) проексия кардан мумкин аст ва ғ. Аммо проексияи хатти дилхоҳи тартиби дуввум боз хатти тартиби дуввум аст – аз ин рӯ мансубият ба синфи хатҳои тартиби дуввум хосияти проективӣ мебошад. Ҳангоми проексия кардани нуқтаҳои як ҳамворӣ ба ҳамвории дигар на ба ҳар як нуқтаи ҳамвории П дар ҳамвории П' образ ва на ба ҳар як нуқтаи ҳамвории П' дар П тимсол мувофиқ меояд (нигар Инъикос). Ин боиси бо нуқтаҳои бениҳоят дур (ғайрихос) комил кардани мафҳуми ҳамвории Уқлидус гардид. Дар натиҷа мафҳуми нави геометрӣ – ҳамвории проективӣ пайдо шуд. Хатти рости проективӣ дар натиҷаи ба хатти рост илова кардани нуқтаи ғайрихос ҳосил мешавад. Ба хатҳои рости ғайримувозӣ нуқтаҳои гуногун ва ба хатҳои рости мувозӣ танҳо ҳамон як нуқтаи ғайрихосро ҳамроҳ мекунанд. Ҳамвориро бо хатти рости ғайрихос комил намуда, фарз мекунанд, ки дар он нуқтаҳои ғайрихосси ҳамаи хатҳои рости ҳамворӣ мехобанд. Ҳамвории Уқлидус, ки бо унсурҳо ё аломатҳои ғайрихос пурра шудааст, ҳамвории проективӣ (ҳақиқӣ) ном дорад. Дар он аз ду нуқтаи гуногун танҳо як хатти рост мегузарад ва ду хатти рости дилхоҳ танҳо як нуқтаи умумӣ доранд. Айнан ҳамин тавр аз фазои Уқлидус фазои проективӣ ҳосил кардан мумкин аст.

Усулҳои гуногуни ба таври аксиомавӣ ифода кардани ҳамвории ҳақиқии проективӣ мавҷуданд. Системаи аксиомаҳои маъмултарин аз шаклдигарсозии системаҳое иборат аст, ки онро математики олмонӣ Гилберт барои илман асоснок кардани геометрияи Уқлидус пешниҳод кардааст.

Дар ҳамвории проективӣ координатаҳоро, бо усули зерин ҷорӣ мекунанд: бигзор П' ҳамвории проективии ба ҳамвории Уқлидус П мувофиқ ва бигзор дар П системаи координатаҳои декартӣ дода шуда бошад. Агар M (x,y) нуқтаи ҳамвории П бошад, координатаҳои якҷинсаи нуқтаи M гуфта чунин се адади дилхоҳи x₁, x₂, x₃-ро мефаҳманд, ки барояшон x₁/x₃=x, x₂/x₃=y аст. Агар ∞ нуқтаи ғайрихосси ҳамвории П бошад, аз он дастаи хатҳои рости мувозӣ мегузарад; координатаҳои якҷинсаи нуқтаи ∞ (беохир) гуфта чунин се адади дилхоҳи (x₁, x₂, x₃)-ро меноманд, ки дутои аввали он (x₁, x₂) координатаҳои вектори ба даста мувозӣ асту севвумаш x₃=0. Ҳамин тавр, координатаҳои якҷинсаи нуқтаи ҳамвории П' ададҳоеанд (сето), ки ҳамзамон ба сифр баробар нестанд. Ҳар як хатти рост дар ҳамвории проективӣ бо муодилаи якҷинсаи хаттии байни координатаҳои якҷинсаи нуқтаҳои ҳамин хатти рост v₁ x₁ + v₂ x₂ + v₃ x₃ =0 ифода мешавад ва баръакс: ҳар яке аз ин муодилаҳо хатти ростро муайян мекунанд. Ададҳои v₁, v₂, v₃, ки дар як вақт баробари сифр нестанд, координатаҳои якҷинсаи хатти рост номида мешаванд.

Усулҳои ҳандасаи тасвирӣ имкон медиҳанд, ки таҳқиқи хосиятҳои ҷисм ва шаклҳои мураккаб ба таҳқиқи хосиятҳои ҷисм ва шаклҳои сода оварда шавад. Мас., омӯзиши хосияти буришҳои махрутиро ба таҳқиқи давра овардан мумкин аст.        

Адабиёт

• Глаголев Н. А. Проективная геометрия, М., 1963;
• Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия. М., 1970;
• Гильберт Д.,Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. М., 1981.

Сарчашма

• Геометрияи проективӣ / Т. Ҷӯраев // Вичлас — Гӯянда. — Д. : СИЭМТ, 2015. — (Энсиклопедияи Миллии Тоҷик : [тахм. 25 ҷ.] / сармуҳаррир Н. Амиршоҳӣ ; 2011—2023, ҷ. 4). — ISBN 978-99947-33-77-4.